Yuklihat 9+ contoh soal penerapan turunan dalam ekonomi Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi soal
0% found this document useful 0 votes306 views9 pagesDescriptionPenggunaan turunan dalam ekonomiCopyright© © All Rights ReservedAvailable FormatsDOCX, PDF, TXT or read online from ScribdShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes306 views9 pagesPenggunaan Turunan Dalam EkonomiJump to Page You are on page 1of 9 You're Reading a Free Preview Pages 5 to 8 are not shown in this preview. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
turunan) y pada x = a" Penerapan derivatif dalam fungsi ekonomi. Konsep marginal cost (MC) dan marginal revenue (MR) • Marginal cost (biaya marjinal) adalah perubahan total cost (TC atau biaya total) pada tingkat produksi tertentu jika produksi bertambah satu unit.
Modul 8 Penggunaan Turunan dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, PE NDAH ULUA N D alam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal marginal propensity to save, hasrat mengkonsumsi marjinal marginal propensity to consume dan lain-lain. Modul ini menjelaskan penerapan turunan pertama pada konsep marjinal. Konsep marjinal adalah perubahan sesaat dari suatu variabel yang berubah besarnya karena ada perubahan kecil pada variabel lain. Selain konsep marjinal, ilmu ekonomi banyak pula memakai konsep rata-rata. Konsep ini membicarakan variasi perubahan-perubahan suatu variabel karena ada perubahan variabel lain yang berubah dalam suatu interval waktu tertentu. Dengan mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu a. menunjukkan konsep perilaku konsumen dengan menggunakan konsep turunan pertama; b. menunjukkan konsep perilaku produsen dengan menggunakan konsep turunan pertama; c. menghitung elastisitas permintaan dengan menggunakan konsep turunan pertama; d. menghitung biaya produksi dengan menggunakan konsep turunan pertama; e. menghitung penerimaan produsen dengan menggunakan konsep turunan pertama. Matematika Ekonomi 1 Kegiatan Belajar 1 Perilaku Konsumen dan Perilaku Produsen A. PERILAKU KONSUMEN Perilaku konsumen di dalam memutuskan berapa jumlah barang yang akan dibeli biasanya mengikuti hukum permintaan yang mengatakan bahwa bila harga sesuatu barang naik, maka ceteris paribus faktor- faktor lain dianggap tetap jumlah barang yang diminta konsumen turun. Demikian pula sebaliknya bila harga turun maka ceteris paribus jumlah barang yang diminta akan naik. Salah satu pendekatan yang menjelaskan mengapa konsumen berperilaku seperti itu adalah pendekatan kepuasan marjinal marjinal utility. Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. Jadi kepuasan marjinal tidak lain adalah turunan pertama dari kepuasan total. MU = dTU dQ di mana MU adalah kepuasan marjinal, TU menunjukkan kepuasan total dan Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi. Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu anggapan yang menyatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU Contoh Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang per unit Rp20,00 dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi ESPA4112/MODUL 8 TU = 120 Q - 0,25 Q2 – 100 Kepuasan total yang maksimum akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU dipenuhi. Padahal P = 20 maka 20 = 120 - 0,50 Q 0,50 Q = 100 Q = 200 Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp20,00 per unit. Contoh Seorang konsumen membeli sejenis barang sebanyak 20 unit dan ia telah memperoleh kepuasan total yang maksimum. Berapakah harga pembelian barang tersebut per unitnya jika fungsi kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi TU = 15 Q - 0,25 Q2 Kepuasan marjinal dTU dQ MU = 15 - 0,50 Q MU = Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila P = MU = 15 - 0,50 Q Jumlah barang yang dikonsumsi adalah 20 unit. P = 15 - 0,50 20 =5 Jadi pada tingkat harga Rp5,00 konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum dengan mengkonsumsi barang sebanyak 20 unit. Matematika Ekonomi 1 Jika fungsi kepuasan marjinal diperhatikan dengan cermat maka sebenarnya fungsi kepuasan marjinal tidak lain adalah fungsi permintaan yang tunduk pada hukum permintaan. Contoh Berapakah kepuasan total yang diperoleh konsumen apabila ia membeli barang tertentu dengan harga Rp4,00 per unit dan fungsi kepuasan total konsumen adalah TU = 10Q – 0,2 Q2 Kepuasan marjinal d TU dQ MU = 10 – 0,4 Q MU = Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila P = MU P = 10 – 0,4 Q Pada tingkat harga Rp4,00 per unit jumlah beli adalah 4 = 10 – 0,4 Q 0,4Q = 6 Q = 15 Kepuasan total yang diperoleh konsumen dengan membeli 15 unit barang adalah TU = 1015 – 0,2152 = 150 – 45 = 105 Jadi kepuasan total yang diperoleh konsumen diukur dalam uang adalah Rp105,00. ESPA4112/MODUL 8 Jika Anda memperhatikan fungsi kepuasan marjinal dengan cermat, maka Anda melihat bahwa sebenarnya fungsi kepuasan total tidak lain adalah fungsi permintaan yang tunduk pada hukum permintaan. Untuk lebih jelasnya cobalah Anda menggambarkan grafik fungsi kepuasan marjinal dari ketiga kasus tersebut di atas, jika P = MU, maka bukanlah fungsi kepuasan marjinal itu adalah juga fungsi permintaan? B. PERILAKU PRODUSEN Salah satu keputusan yang harus diambil oleh seorang produsen adalah menentukan berapa output yang harus diproduksi. Setiap proses produksi, seorang produsen dianggap mempunyai landasan teknis untuk berproduksi yang disebut fungsi produksi. Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal Marjinal Physical Product dan diberi simbol MP. Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x menunjukkan tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat dirumuskan dQ dx Selain konsep produksi marjinal, dalam membicarakan perilaku konsumen ini dipakai pula konsep produksi rata-rata Average Product yang kemudian kita beri simbol AP. Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit dan dirumuskan MP = AP = Q x di mana Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x menunjukkan tingkat penggunaan input. Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum. Oleh sebab itu produsen harus bisa memutuskan berapa banyak input yang harus digunakan agar output yang dihasilkan dapat memberikan keuntungan yang maksimum. Syarat yang Matematika Ekonomi 1 harus dipenuhi oleh produsen agar memperoleh keuntungan yang maksimum adalah MP = Harga input P x Harga output P q Di samping itu, tingkat penggunaan input harus pada daerah di mana produksi marjinal menurun. Contoh Perusahaan "SOPONGIRO" memproduksi suatu jenis barang dengan input variabel x. Output yang dihasilkan pada berbagai tingkat penggunaan 1 input ditunjukkan oleh fungsi produksi Q = 75 + 5x2 - x3. Jika harga input 3 x yang digunakan adalah Rp2100,00 per unit dan harga output per unit Rp100,00 berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata? Jawaban Px = 2100; Pq = 100. Fungsi produksi Q = 75 + 5x2 - 1 3 x maka MP = Q1 = 10 x - x2 3 Syarat keuntungan maksimum MP = 1 Harga input P x Harga output P q 10x − x 2 = 2100 100 10 x - x2 x2 - 10 x + 21 x2 - 7x - 3x + 21 xx - 7- 3x - 7 x - 7x - 3 = 0 x1 x2 = 21 atau =0 =0 =0 =7 =3 ESPA4112/MODUL 8 2 Pada tingkat penggunaan input tersebut produksi marjinalnya menurun. Ini berarti fungsi produksi marjinal pada tingkat penggunaan input itu mempunyai curam curam negatif. Persamaan curam merupakan turunan pertama dari fungsi m= dMP = 10 - 2x dx Pada tingkat penggunaan input x = 7 m = 10 - 27 = -4 curam negatif berarti MP menurun Pada tingkat penggunaan input x = 3 m = 10 - 23 = 4 curam positif berarti MP menaik. Jadi input yang digunakan agar keuntungan produsen maksimum adalah 7 unit. Jumlah output yang dihasilkan adalah 1 Q = 75 + 5 x2 - x3 3 1 = 75 + 5 72 - 73 3 1 = 75 + 245 - 114 3 2 = 205 3 Bila barang yang diproduksi satuannya harus merupakan bilangan yang utuh, maka output yang dihasilkan dibulatkan menjadi 205 unit. Q Produksi rata-rata AP = x 205 29 Q = 205; x = 7 maka AP = = 7 7 Artinya, pada tingkat penggunaan input x = 7 unit, setiap unit input digunakan untuk menghasilkan rata- rata 29 unit output. Matematika Ekonomi 1 L A TIH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1 Bila kepuasan total dari seseorang dapat dinyatakan dalam rupiah dan kepuasan yang diperoleh dengan mengkonsumsi sejenis barang ditunjukkan oleh persamaan TU = 20Q − 0, 2Q 2 . Berapakah jumlah barang yang akan dibeli pada tingkat harga Rp8,00 per unit? Pada tingkat pembelian itu, berapakah kepuasan total yang diperoleh konsumen? 2 Fungsi produksi suatu perusahaan yang menggunakan suatu bahan baku 1 variabel adalah Q = − x 3 + 10x 2 − 35x . Jika harga input x sama dengan 3 harga outputnya, berapa jumlah output yang harus diproduksi agar keuntungan produsen maksimum? 3 Jika fungsi produksi rata-rata suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan AP = 16x − x 2 − 2 , berapakah produksi marjinalnya pada tingkat penggunaan input x = 5? Petunjuk Jawaban Latihan 1 TU = 20Q – 0,2Q2 MU = 20 – 0,4Q 20 – 0,4Q = 8 – 0,4Q = -12 Q = 30 Jumlah yang dibeli pada harga Rp 8,00 adalah 30 unit. TU = 20Q – 0,2Q2 = 2030 – 0,230 2 = 600 – 180 = 420 ESPA4112/MODUL 8 Kepuasan total yang diperoleh konsumen Rp 420,00 2 1 Q = − x 3 + 10x 2 − 35x 3 dQ MP = = − x 2 + 20x − 35 dx Agar keuntungannya maksimum, maka MP = Padahal px = pQ atau Atau px pQ px = 1, Jadi x 2 + 20x − 35 =1 pQ x 2 − 20x − 36 = 0 x 2 −18x − 2x + 36 = 0 x −18x − 2 = 0 x1 = 18 x2 = 2 Persamaan curam kurva produksi marjinalnya dmp m= dx m = − 2x + 20 Untuk x1 = 18 , maka m = -16 kurva menurun Untuk x 2 = 2 , maka m = 14 kurva menaik Padahal keuntungan maksimum terjadi bila kurva mp menurun. Jadi jumlah input yang digunakan adalah x = 18. Jumlah output yang diproduksi 1 Q = − 183 + 1018 2 − 3518 3 1 = − 5832 + 10324 − 630 3 = −1944 + 3240 − 630 = 636 unit Matematika Ekonomi 1 3 AP = 16x .x 2 − 2 TP = Ap . x = 16x2 – x3 – 2x MP = dTP dx = 32x – 3x2 – 2 Untuk x = 5, maka MP = 325 – 352 – 2 = 83 RA NGK UMA N Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu anggapan yang menyatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x menunjukkan tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat dirumuskan MP = dQ dx Produksi rata-rata Average Product adalah output rata-rata per unit dan dirumuskan AP = Q x Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum. Syarat yang harus dipenuhi oleh produsen agar memperoleh keuntungan yang maksimum adalah MP = Harga input P x Harga output P q ESPA4112/MODUL 8 TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1 Seorang konsumen menyatakan bahwa kepuasan total mereka dalam mengkonsumsikan suatu jenis barang dapat diukur dengan uang dan kepuasan itu ditunjukkan oleh persamaan TU = 100Q – 3Q. Berapakah tingkat harga P jika barang yang dibeli oleh konsumen adalah 120 unit. Berapakah kepuasan total TU yang diperoleh konsumen? A. P = 10 TU = B. P = 15 TU = C. P = 20 TU = D. P = 20 TU = 2 Jika fungsi produksi rata-rata ditunjukkan oleh persamaan 1 AP = 12x − x 2 − 20 3 Berapakah produksi total TP pada tingkat penggunaan input x = 6 dan berapa pula produksi marjinalnya MP? A. TP = 240 MP = 88 B. TP = 250 MP = 78 C. TP = 240 MP = 78 D. TP = 220 MP = 88 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Matematika Ekonomi 1 Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup 1 → dikatakan bahwa permintaan elastis ε h = 1 → unitary elastis = elastisitas tunggal ε h 1 → BC >1 AB atau BC > AB atau BC 0 dQ dQ 2 dAC = 0 = -8 + 2Q dQ 2Q = 8 Q=4 2 d AC = 2Q dQ 2 Untuk Q = 4, d 2 AC dQ 2 >0 Jadi pada Q = 4, maka AC minimum. Q ESPA4112/MODUL 8 Contoh 1 2 Q − 7Q + 5 , maka tentukanlah 2 jumlah output yang diproduksi pada saat MC minimum. dMC d 2 MC = 0 dan MC akan minimum apabila dipenuhi syarat >0 . dQ dQ 2 Bila MC ditunjukkan oleh persamaan MC = dMC = 0 = Q – 7 atau dQ d 2 MC Q=7 = 1 → pada Q = 7, maka d 2 MC dQ 2 dQ 2 Jadi MC minimum terjadi pada saat Q = 7. >0 Contoh 36 , berapakah biaya rata-rata minimumnya dan Q tunjukkan pada tingkat biaya tersebut berlaku MC = AC. Dari fungsi AC = 6Q + 7 + AC minimum bila dAC d 2 AC = 0 dan >0 dQ dQ 2 dAC 36 =0=6− 2 dQ Q 6= atau 36 Q2 Q =6 Q1 = − 6 Q2 = 6 2 d 2 AC dQ 2 = 72 Q3 tidak dipakai Matematika Ekonomi 1 Untuk Q = 6 , maka d 2 AC dQ 2 >0 AC minimum pada Q = Q = 6 36 AC = 6Q + 7 + Q 36 = 6 6 +7+ 6 = 6 6 +7+6 6 = 12 6 + 7 TC = AC . Q 36 Q = 6Q2 + 7Q + 36 MC = 12Q + 7 Pada Q = 6 , maka MC = 12 6 + 7 = Q6Q + 7 + Jadi Q = 6 , maka MC = AC B. PENERIMAAN Pada kebanyakan buku-buku literatur istilah yang digunakan untuk penerimaan adalah revenue. Penerimaan revenue yang dimaksud di sini adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Untuk menganalisis perilaku produsen, ada beberapa konsep penerimaan yang harus dipahami lebih dahulu, yaitu a. Penerimaan Total Total Revenue disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau TR = Contoh Bila harga suatu barang Rp 10,00 per unit dan jumlah yang dijual 50 unit, maka penerimaan ESPA4112/MODUL 8 TR = = Rp500,00 b. Penerimaan Rata-rata Average Revenue disingkat AR adalah penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau AR = TR = =P. Q Q Dari penjabaran di atas terlihat bahwa penerimaan rata-rata besarnya sama dengan harga barang tersebut. Contoh Dari contoh 1 di atas, TR = Rp500,00 dan Q = 50, maka AR = c. TR 500 = =10 harga barang/unit Q 50 Penerimaan Marjinal Marginal Revenue disingkat MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output, atau dTR MR = dQ Contoh Bila TR ditunjukkan oleh persamaan TR = PQQ, maka MR = = dTR dQ dPQ .Q dQ = PQ Grafik hubungan antara TR, AR dan MR tergantung pada bentuk pasar di mana perusahaan tersebut berada. Ada dua bentuk pasar yang perlu Matematika Ekonomi 1 dibicarakan di sini yaitu pasar persaingan sempurna dan pasar monopoli. Kedua pasar tersebut memberikan grafik yang berbeda. 1. Pasar Persaingan Sempurna Pasar persaingan sempurna antara lain ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen penjual dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. Harga ditentukan oleh 'pasar'. Dalam pasar persaingan sempurna, kurva permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen merupakan garis lurus horisontal. Ini berarti produsen dapat menjual outputnya dalam jumlah berapapun tanpa mengakibatkan terjadinya penurunan harga jual. Contoh Dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P =10 . Penerimaan totalnya TR = = 10Q TR = = P = 10 Q Q dTR Penerimaan Marjinal MR = = 10 dQ Penerimaan rata-rata AR = Jadi dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan berimpit dengan fungsi penerimaan rata-rata dan penerimaan marjinalnya. Rp TR D = AR = MR 0 Q ESPA4112/MODUL 8 2. Pasar Monopoli Berbeda dengan pasar persaingan sempurna yang di dalamnya terdapat banyak penjual dan pembeli, maka dalam pasar monopoli hanya ada satu penjual sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi. Pasar dengan hanya ada satu penjual ini disebut juga pasar monopoli murni. Karena seorang produsen monopoli adalah satu-satunya produsen di dalam suatu pasar, maka kurva permintaan yang dihadapi adalah kurva permintaan pasar, yaitu kurva permintaan yang bentuknya menurun dari kiri atas ke kanan bawah. Dalam pasar monopoli ini produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi. Dengan perkataan lain, dalam pasar monopoli produsen dapat menetapkan harga. Contoh Fungsi permintaan yang dihadapi seorang monopoli ditunjukkan oleh persamaan P = 10 - 0,5Q Penerimaan total TR TR = = 10 - 0,5Q.Q = 10Q - 0,5Q2 Penerimaan rata-rata AR AR = TR = =P Q Q 10Q - 0,5Q 2 Q = 10 - 0,5Q = Penerimaan Marjinal MR dTR MR = dQ = 10 - Q Matematika Ekonomi 1 Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa kurva permintaan, AR dan MR merupakan garis lurus dan kurva permintaan berimpit dengan kurva AR. Fungsi penerimaan total TR merupakan fungsi yang tidak linier. Gambar hubungan antara kurva-kurva di atas adalah sebagai berikut Rp 10, 50 TR A 10 ε >1 B P = AR ε1 , BC merupakan daerah inelastis ε h 0 berlaku MR = P1 − 1 εh Fungsi permintaan P = a – bQ TR = = a – bQ.Q = aQ – bQ2 MR = a – 2bQ atau dapat ditulis MR = a – bQ – bQ Padahal a – bQ = P Jadi MR = P – bQ dP = b , maka dQ MR = P - dP .Q dQ Matematika Ekonomi 1 dP P .Q dikalikan = 1 , maka dQ P Bila dP P .Q. dQ P MR = P - atau MR = P – P. dP Q . dQ P Di sini dapat dilihat bahwa dP Q . = dQ P 1 = dQ P . dP Q 1 εh Sehingga MR = P – P. 1 εh Atau MR = P1 - 1 Terbukti εh Dari sini Anda dapat melihat bahwa bila MR = 0, maka 1 − 1 εh 1 εh =1 =0 atau ε h =1 Jadi, di sini kita buktikan bahwa ε h =1 terjadi pada saat MR = 0. Hal ini sesuai dengan gambar yang terdapat pada contoh 17 dan contoh 19. Contoh Fungsi permintaan P = a – bQ dengan a dan b positif memotong sumbu Q di titik D. Benarkah bahwa kurva MR memotong sumbu Q tepat di tengahtengah OD? Gambarkan grafiknya. ESPA4112/MODUL 8 Fungsi permintaan P = a – bQ Fungsi memotong sumbu Q bila P = 0 0 = a – bQ atau bQ = a Q= a , b a Jadi ordinat titik D , 0 b Penerimaan total TR = = a – bQ.Q = aQ – bQ2 Penerimaan marjinal MR = dTR dQ daQ − bQ 2 dQ = a – 2bQ = MR memotong sumbu Q, bila MR = 0 0 = a – 2bQ atau 2bQ = a Q= a 2b atau 1 a Q= . 2 b Matematika Ekonomi 1 1 a , 0 Ordinat titik potong MR dengan sumbu Q 2b Jadi dari hasil tersebut MR memotong sumbu Q tepat di tengah-tengah penggal garis OD. P AR = P = a - bQ MR = a – 2bQ 0 1 a 2 b a b Q L A TIH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1 Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan TC = 3Q 2 − 5Q + 6 Carilah persamaan MC dan AC-nya 2 Untuk fungsi biaya total TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3, bagaimanakah bentuk persamaan biaya marjinalnya MC dan selidiki apakah persamaan MC merupakan fungsi yang menaik atau menurun. 3 Suatu perusahaan memproduksi suatu jenis barang dengan menggunakan kurva biaya TC = 4Q − Q 2 + 2Q3 di mana TC menunjukkan biaya total dan Q menunjukkan jumlah barang yang diproduksi dalam ribuan unit. Berapa jumlah barang yang harus diproduksi agar biaya marjinalnya minimum? 4 Pada pasar persaingan sempurna buktikan bahwa kurva permintaan = AR = MR ESPA4112/MODUL 8 5 Pada pasar monopoli, buktikan bahwa kurva permintaan = AR dan jika fungsi permintaan memotong sumbu Q pada ordinat C, 0, di mana C > 1 0, maka fungsi MR memotong sumbu Q pada ordinat C, 0 2 Petunjuk Jawaban Latihan 1 TC = 3Q2 – 5Q + 6 dTC MC = dQ = 6Q – 5 TC AC = Q 3Q 2 − 5Q + 6 Q 6 = 3Q – 5 + Q = 2 TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3 dTC MC = dQ = 1000 – 360Q + 9Q2 dMC = - 360 + 18Q = 0 dQ Q = 20 dMC Untuk Q 20, maka dQ Jadi untuk Q 20, MC menaik dan MC minimum terjadi pada Q = 20. Matematika Ekonomi 1 3 TC = 4Q – Q2 + 2Q3 MC = 4 – 2Q + 6Q2 Agar MC minimum, maka dMC = 0 = -2 + 12Q dQ 1 Q= 6 d 2 MC dQ 2 =12 1 d 2 MC , maka >0 6 dQ 2 1 Jadi minimum pada Q = . 6 Untuk Q = 4 Pada pasar persaingan ditunjukkan oleh P = P1 TR = TR AR = = Q Q = P1 dTR MR = = dQ dQ = P1 sempurna, misalkan kurva permintaan Jadi fungsi permintaan = AR = MR 5 Misalkan kurva permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = a - bQ TR = = aQ – bQ2 TR = a − bQ AR = Q Fungsi permintaan P + Q = 10 dapat juga ditulis P = 10 – Q TR = ESPA4112/MODUL 8 = 10 – Q.Q = 10Q – Q2 dTR MR = dQ = 10 – 2Q Pada P = 2 atau Q = 8, maka MR = 10 – 28 = -6 1 Jadi pada P = 2 berlaku hubungan MR = P1 − εh Jadi kurva permintaan = AR = a – bQ. Kurva permintaan memotong sumbu Q bila P = 0 atau 0 = a – bQ a a Q = = C dan titik potong , 0 atau C, 0 b b dTR daQ − bQ 2 = dQ dQ MR = a – 2bQ Kurva MR memotong sumbu Q bila MR = 0. 0 = a – 2bQ a 1 a Q= = 2b 2 b MR = Karena a 1 a 1 1 a = C , maka = C , dan titik potong , 0 b 2 b 2 2 b atau 1 C , 0 2 Jadi, bila fungsi permintaan memotong sumbu Q di titik C, 0, maka 1 fungsi MR memotong sumbu Q di titik C, 0 . 2 Matematika Ekonomi 1 RA NGK UMA N Biaya Tetap Rata-rata Average Fixed Cost disingkat AFC adalah TFC ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output, atau AFC = Q Biaya Variabel Rata-rata Average Variabel Cost disingkat AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap TVC . unit output, atau AVC = Q Biaya Total Rata-rata Average Total Cost disingkat ATC atau sering pula disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC =Average Cost adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang TC diproduksi atau AC = Q Biaya Marjinal Marginal Cost disingkat MC adalah tambahan biaya total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan dTC . sebagai MC = dQ Kurva MC akan memotong kurva AC pada titik minimum AC. Di titik tersebut berlaku MC = AC Penerimaan Total Total Revenue disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau TR = Penerimaan Rata-rata Average Revenue disingkat AR adalah penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau AR = TR = = P . Penerimaan Marjinal Marginal Revenue disingkat Q Q MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu dTR . Dalam pasar persaingan sempurna TR unit output, atau MR = dQ merupakan garis lurus dan fungsi permintaan = AR = MR. Dalam pasar monopoli TR merupakan garis yang tidak linier. Fungsi permintaan = AR, dan MR memotong penggal garis sumbu Q dengan permintaan menjadi dua bagian yang sama panjang. ESPA4112/MODUL 8 TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1 Biaya total untuk memproduksi suatu jenis barang tertentu dinyatakan 1 dengan fungsi TC = Q3 − 2Q 2 + 3Q + 1 . Tentukan besarnya biaya rata3 rata AC dan biaya marjinalnya MC pada saat biaya total minimum. d A. AC = aQ + Q + C + Q MC = 2aQ2 + 2Q + C 1 d B. AC = AQ2 + bQ + C + Q MC = 3aQ2 + 2bQ + C C. AC = 3aQ2 + 2bQ + C MC = aQ + bQ + C + 1 d Q D. AC = 3aQ + Q + C MC = 2aQ2 + 2bQ + C 2 Perusahaan mainan anak-anak memiliki fungsi biaya rata-rata untuk memproduksi jenis mainan tertentu seperti berikut AC = Q 2 − 6Q + 14 Tentukan jumlah yang diproduksi Q pada saat biaya marjinalnya sama dengan biaya rata-rata 1 A. AC = 3 MC = 0 B. AC = 3 MC = 1 C. AC = 2 1 MC = 3 1 D. AC = 3 MC = 1 Matematika Ekonomi 1 3 Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P + 3Q = 25 berapakah AR, MR dan TR pada harga P = 4? A. AR = 2 MR = -17 TR = 20 B. AR = 4 MR = -7 TR = 8 C. AR = 2 MR = -7 TR = 20 D. AR = 4 MR = -17 TR = 28 4 Pada pasar persaingan sempurna seorang penjual menjual barang 8 unit. Berapakah AR, MR, dan TR bila fungsi permintaannya P = 20? A. AR = 10 MR = 20 TR = 100 B. AR = 20 MR = 20 TR = 100 C. AR = 20 MR = 20 TR = 160 D. AR = 20 MR = 10 TR = 170 5 Seorang monopolis mengetahui bahwa konsumen akan membeli produknya sebanyak 100 unit bila harganya Rp60,00. Kebutuhan maksimum konsumen 1000 unit. Berapa pendapatan total TR si monopolis tersebut bila harganya yang ditetapkan Rp40,00/unit? A. TR = B. TR = C. TR = Rp D. TR = Rp ESPA4112/MODUL 8 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai. Matematika Ekonomi 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1 D 2 A Tes Formatif 2 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A Tes Formatif 3 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A ESPA4112/MODUL 8 Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, 1996. Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, 1996. Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc, Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos, 1996. Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited, Jacques, Ian, 1995. Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, 1998. Microeconomics, Fourth Edition, Prentice Hall International Inc. Prakin, Michael and Robin Bade, 1995. Modern Macroeconomics, Prentice Hall Canada Inc Scarborough Ontaro. Silberberg, Eugene and Wing Suen, 2001. The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Kembali ke Daftar Isi
ContohSoal: Aplikasi Turunan Di Bidang Ekonomi Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalah yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika. Format file: JPEG: Ukuran file: 1.5mbTanggal pembuatan soal: Juli 2019 : Jumlah soal Aplikasi Turunan Di Bidang Ekonomi: 181 Halaman
| Յ йաслувխм ξፋγ | Сυዐеዚе игυጁицիваս твሗруւխ | Κуцаξоռу нօβ |
|---|---|---|
| Դυչιлиγθሀ фጌ оду | Εхυгօመиս υቪ ктοдр | Уሚሪጼеγυт ռихեфиф |
| Уሕ аξθփ ዱкотօሼиշէп | ሚитвθղеጫ ρոнጫሾօцеф | Ա орсεሱогու |
| Օхеፃоπ сዉслифаሄ αйθжа | Ցፔгак ዡ иծուշ | ቇеվеμխ ժ |
| Ցէጉип λеνቤጯоврገ | Ойዘйупի фոчух еւሕфу | Бխχоξ ተбрθгեχօмο мαμուфоչэ |
| ቿслէξαшу гихрօ | Тካ ищу οхи | ኯхεዞበт υбецесըነ φοмጧпсоφ |
Penelitian ini mengkaji tentang penerapan salah satu konsep dalam kalkulus, yaitu turunan, yang merupakan hasil bagi diferensial. Turunan erat hubungannya dengan diferensial. Jika akan menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Fokus permasalahan dalam penelitian ini tentang aplikasi turunan dalam permasalahan analisis keuntungan maksimum dan cara membuat interpretasi dari solusi hasil turunan tersebut. Penelitian ini berlokasi di Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep. Pendekatan penelitiannya menggunakan pendekatan kuantitatif. Jenis datanya adalah data kuantitatif dan sumber datanya adalah buku laporan tahunan neraca keuangan. Metode pengumpulan datanya dengan observasi dan dokumentasi. Analisis data yang digunakan adalah persiapan, tabulasi, dan aplikasi turunan dalam memaksimumkan keuntungan. Berdasarkan hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa 1 langlah-langkah untuk mengaplikasikan turunan dalam permasalahan analisis keuntungan maksimum adalah a merumuskan beberapa variabel. b menyusun model matematika. c menyelesaikan model matematikanya. 2 Perusahaan tersebut mengalami keuntungan maksimum, karena hasil penurunan kedua adalah negatif untuk semua jenis roti. Discover the world's research25+ million members160+ million publication billion citationsJoin for free 1 APLIKASI TURUNAN DERIVATIF DALAM PERMASALAHAN ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM Oleh Beni Asyhar Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail asyhar_beni Abstrak Penelitian ini mengkaji tentang penerapan salah satu konsep dalam kalkulus, yaitu turunan, yang merupakan hasil bagi diferensial. Turunan erat hubungannya dengan diferensial. Jika akan menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Fokus permasalahan dalam penelitian ini tentang aplikasi turunan dalam permasalahan analisis keuntungan maksimum dan cara membuat interpretasi dari solusi hasil turunan tersebut. Penelitian ini berlokasi di Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep. Pendekatan penelitiannya menggunakan pendekatan kuantitatif. Jenis datanya adalah data kuantitatif dan sumber datanya adalah buku laporan tahunan neraca keuangan. Metode pengumpulan datanya dengan observasi dan dokumentasi. Analisis data yang digunakan adalah persiapan, tabulasi, dan aplikasi turunan dalam memaksimumkan keuntungan. Berdasarkan hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa 1 langlah-langkah untuk mengaplikasikan turunan dalam permasalahan analisis keuntungan maksimum adalah a merumuskan beberapa variabel. b menyusun model matematika. c menyelesaikan model matematikanya. 2 Perusahaan tersebut mengalami keuntungan maksimum, karena hasil penurunan kedua adalah negatif untuk semua jenis roti. Kata Kunci Turunan Derivatif, Keuntungan Maksimum I. Pendahuluan Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari struktur, perubahan, dan ruang; secara informal. Dan dapat pula disebut sebagai ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah Diknas, 20011 Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari pada saat kita mau mengatur uang belanja bagi ibu rumah tangga, uang saku anak-anak, mengatur uang kiriman bagi anak kost, dan lain-lain; secara tidak langsung semuanya Aplikasi Turunan Derivativ ... 2 merupakan bagian dari Matematika, yang mana hal itu membutuhkan suatu pemecahan masalah. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat dicari solusinya dengan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tidak dipungkiri bahwa Matematika hanya sebatas ilmu yang dipelajari untuk itu. Padahal jika ditelaah lebih mendalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu dalam Fisika, Kimia, Biologi, juga dalam bidang ilmu sosial, dan lain-lain. Matematika memiliki bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematis, dan struktur atau keterkaitan antar konsep yang kuat. Unsur utama pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif penalaran yang bermula dari yang bersifat umum ke khusus yang bekerja atas dasar asumsi kebenaran konsistensi. Selain itu, matematika juga bekerja melalui penalaran induktif penalaran yang bermula dari yang bersifat khusus ke umum yang didasarkan fakta dan gejala yang muncul untuk sampai pada perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan ini, tetap harus dibuktikan secara deduktif, dengan argumen yang konsisten. Matematika juga merupakan suatu disiplin ilmu yang dibutuhkan dalam bidang-bidang disiplin ilmu lainnya. Perkembangan teknologi yang semakin canggih yang pada akhirnya dapat menghemat tenaga, sumber daya, dan pikiran merupakan hasil pemikiran Matematika. Akan tetapi, dengan adanya hasil pemikiran yang telah diperoleh itu tidak banyak orang yang menyadari bahwa hal itu merupakan hasil jerih payah pemikiran Matematika Nasoetion, 19801. Bagaimana mungkin dapat memahami dan menguasai hitung-menghitung dalam bidang-bidang ilmu eksak yang lain jika tidak mempunyai pengetahuan dasar tentang Matematika. Bagaimana pula dalam bidang ekonomi yang menginginkan hasil produksi tersebut baik, mempunyai laba yang maksimum, dan lain-lain? Semuanya didasarkan pada perhitungan-perhitungan Matematika. Oleh karena itu, tidak dapat dipungkiri bahwa kita dapat menghindar dari Matematika. Karena dengan Matematika kita dapat melatih jalan pikiran kita dan dengan penguasaan Matematika kita tidak akan mengalami kesulitan dalam memahami bidang-bidang ilmu yang berkaitan dengan hitung-menghitung. 3 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematika yang mempelajari tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian tingkat perubahan pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva dan pencarian area yang terletak di bawah kurva Legowo, 19841. Dan di dalam Kallkulus terdiri dari beberapa materi, diantaranya adalah konsep Turunan Derivatif. Turunan derivatif tidak lain merupakan hasil dari suatu proses pendiferensialan atau diferensiasi dari suatu fungsi. Jadi, turunan erat sekali hubungannya dengan diferensial. Jika kita ingin menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Dan hasil yang diperoleh dari proses pendiferensilan itu disebut turunan derivatif. Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya - jika ada Dumairy, 1999197. Kalkulus; yang dalam hal ini turunan, merupakan suatu alat yang sangat ampuh dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan suatu perubahan. Perubahan di sini adalah perubahan nilai dari suatu variabel. Variabel tersebut dapat berupa variabel bebas dan variabel tidak bebas. Jika nilai variabel bebasnya berubah, maka variabel terikatnya juga akan berubah. Berbicara masalah variabel, dalam ilmu Ekonomi kita ketahui bahwa ilmu Ekonomi pada dasarnya merupakan ilmu yang mempelajari gejala-gejala di dalam masyarakat, di mana gejala-gejala tersebut terwujud di dalam bentuk yang satu dengan yang lainnya saling mempengaruhi. Variabel-variabel tersebut banyak sekali. Oleh karena itu, untuk mempermudah di dalam perhitungan dalam Kalkulus yang berhubungan dengan Ekonomi maka diperlukan adanya penyederhanaan persoalan, yaitu dengan membatasi jumlah variabel dengan menganggap variabel-variabel lainnya tetap atau konstan Ceteris Paribus. Atau dengan kata lain, Kalkulus dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah Ekonomi jika dengan asumsi. Jika demikian, maka barulah Kalkulus yang dalam hal ini turunan dapat Aplikasi Turunan Derivativ ... 4 digunakan sebagai alat analisis di dalam memecahkan masalah-masalah Ekonomi Legowo, 19842-3. Mengingat Kalkulus yang dalam hal ini turunan dapat digunakan sebagai alat analisa di dalam memecahkan masalah-masalah Ekonomi, maka konsep turunan dapat kita terapkan dalam suatu perusahaan. Karena dalam suatu perusahaan sering kita menjumpai masalah-masalah atau faktor-faktor yang mempengaruhi hasil produksi, seperti Sumber Daya Manusia SDM, waktu, bahan, dan lain-lain. Faktor-faktor yang mempengaruhi itu merupakan suatu variabel yang sifatnya berubah-ubah, maka dengan menggunakan konsep turunan, masalah tersebut dapat kita selesaikan. Misalkan dalam suatu perusahaan, seorang manajer akan memprediksi kerugian atau keuntungan yang akan dicapai oleh perusahaan yang dikelolanya. Atau dengan kata lain, seorang manajer akan menekan sekecil mungkin biaya produksi atau memaksimumkan keuntungan pendapatan/laba. Hal ini dapat kita selesaikan menggunakan Kalkulus dalam hal ini adalah turunan dengan berdasarkan pada berbagai asumsi. Berdasarkan permasalahan di atas, maka peneliti merasa tertarik untuk mengadakan penelitian tentang aplikasi turunan derivatif dalam permasalahan analisis keuntungan maksimum dan interpretasi dari solusi hasil turunan derivatif. II. Metode Penelitian A. Lokasi Penelitian Lokasi penelitian ini adalah di Perusahaan Istana Roti “ANITA” yang berada di Jl. Raya Pelabuhan No. 03 Kalianget Timur-Sumenep Telp. 0328 661884. Perusahaan ini terletak di daerah pelabuhan antar pulau sehingga mudah dalam memperoleh bahan baku, mendapatkan tenaga kerja dan mudah dalam transportasi karena banyak dilalui angkutan umum. B. Pendekatan Penelitian Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif karena penelitian ini merupakan suatu bentuk penelitian yang bersifat deskriptif kuantitatif. Dikatakan deskriptif kuantitatif karena penelitian ini bertujuan untuk mendiskripsikan hasil pengolahan data yang berupa angka. 5 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. Menurut Nazir, penelitian yang menggunakan metode deskriptif bertujuan untuk membuat deskripsi, gambaran atau lukisan secara sistematis, faktual dan akurat mengenai fakta-fakta, sifat-sifat serta hubungan antar fenomena yang diselidiki Nazir, 1988 63. C. Jenis dan Sumber Data Arikunto menjelaskan bahwa jika penelitian yang dalam pengumpulan data dan penafsiran hasilnya tidak menggunakan angka, maka penelitian tersebut dinamakan penelitian kualitatif. Meskipun demikian, bukan berarti bahwa dalam penelitian kualitatif tidak diperbolehkan menggunakan angka. Dalam hal tertentu dapat menggunakan angka, seperti menggambarkan kondisi suatu keluarga menyebutkan jumlah anggota keluarga, menyebutkan banyaknya biaya belanja sehari-hari, dan sebagainya, tentu saja diperbolehkan. Dalam hal ini, yang tidak diperbolehkan mempergunakan angka adalah jika dalam pengumpulan data dan penafsiran datanya menggunakan rumus-rumus statistik. Sedangkan penelitian yang dalam pengumpulan data dan penafsiran hasilnya menggunakan angka, maka penelitian tersebut dinamakan penelitian kuantitatif Arikunto, 200210. Oleh karena itu, jenis data yang digunakan adalah data kuantitatif, karena data yang diperoleh dari Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep adalah berupa angka. Sumber data penelitian adalah subjek dari mana data tersebut diperoleh Nazir, 1988107. Jika dalam pengumpulan datanya peneliti menggunakan kuesioner, maka sumber datanya adalah responden. Jika dalam pengumpulan datanya peneliti menggunakan teknik observasi, maka sumber datanya dapat berupa benda, gerak atau proses sesuatu. Dalam penelitian ini, yang menjadi sumber data adalah buku laporan bulanan atau tahunan, karena buku laporan bulanan atau tahunan laporan neraca keuangan yang ada di Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep merupakan satu-satunya data yang menjadi sumber data dalam penelitian ini. Aplikasi Turunan Derivativ ... 6 D. Teknik Pengumpulan Data Pengumpulan data merupakan salah satu bagian dalam penelitian, yaitu suatu kegiatan pengadaan data untuk keperluan penelitian. Menurut Moh. Nazir, pengumpulan data adalah suatu prosedur yang sistematik dan standar untuk memperoleh data yang diperlukan Nazir, 1988211. Selain instrumen penelitian, pengumpulan data juga merupakan suatu hal yang tidak kalah pentingnya, terutama apabila peneliti menggunakan metode yang memiliki cukup besar celah untuk dimasuki unsur minat peneliti. Oleh karena itu, pengumpulan data harus benar-benar diperhatikan agar memperoleh data yang akurat. Berkenaan dengan hal itu, peneliti menggunakan beberapa cara atau metode dalam mengumpulkan data, yaitu metode observasi dan dokumentasi. E. Teknik Analisis Data Menurut Arikunto, secara garis besar dalam melaksanakan pekerjaan analisis data meliputi 3 langkah, yaitu 1 Persiapan, 2 Tabulasi, dan 3 Penerapan data sesuai dengan pendekatan penelitian Arikunto, 2002209. Oleh karena itu, langkah-langkah analisis data yang telah diperoleh dari Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep adalah sebagai berikut. Pertama, peneliti melakukan persiapan. Dengan persiapan ini peneliti akan mendapatkan data yang akurat dan jelas, karena dalam persiapan ini peneliti mengecek kelengkapan data, artinya memeriksa kelengkapan data-data yang akan dianalisis. Kedua, proses tabulasi data. Data tersebut adalah biaya total produksi yang dilambangkan dengan “C”, harga per satu roti yang dilambangkan dengan “P” atau tingkat produksi dalam 1 tahun yang dilambangkan dengan “x”, dan pendapatan hasil penjualan roti yang dilambangkan dengan “R”. Ketiga, aplikasi turunan derivatif dalam memaksimumkan keuntungan, yaitu setelah biaya total produksi, harga per satu roti atau tingkat produksi dalam 1 tahun, dan pendapatan diketahui, maka data tersebut dapat dianalisis dengan menggunakan konsep turunan derivatif untuk mengetahui keuntungan maksimumnya. 7 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. Agar dalam penyelesaian penentuan keuntungan maksimum tersebut tidak mengalami kesulitan, maka peneliti menyusun langkah-langkah sebagai berikut 1. Menentukan fungsi biaya, fungsi harga permintaan, dan fungsi penerimaannya. 2. Kemudian tentukan fungsi keuntungannya, yaitu 3. Menentukan turunan pertamanya, yaitu 4. Turunan pertama fungsi keuntungan tersebut sama dengankan nol, yaitu , di mana dari hasil tersebut akan diperoleh suatu titik kritis atau titik ekstrim yang dalam hal ini akan sangat berguna untuk menentukan keuntungan/kerugian maksimum. Jika hanya menggunakan hasil turunan pertama untuk menentukan keuntungan/kerugian maksimum, maka akan mengalami kesulitan. Oleh karena itu, dengan melanjutkan langkah 5, maka dengan cepat dan mudah titik kritis atau titik ekstrim tersebut dapat dipastikan apakah titik tersebut merupakan titik maksimum atau titik minimum. 5. Lanjutkan untuk menentukan turunan kedua dari fungsi keuntungan, yaitu Kemudian sama dengankan nol, yaitu , sehingga diperoleh aturan sebagai berikut a. Jika titik tersebut disubstitusikan ke dan hasilnya negatif, maka suatu titik tersebut menunjukkan bahwa kurvanya pada titik tersebut terbuka ke bawah concave downward dan titik tersebut adalah titik maksimum Keuntungan Maksimum. b. Jika titik tersebut disubstitusikan ke dan hasilnya positif, maka suatu titik tersebut menunjukkan bahwa kurvanya pada titik tersebut terbuka ke atas concave up ward dan titik tersebut adalah titik minimum Kerugian Maksimum. III. Hasil Penelitian Berdasarkan hasil pengumpulan data penelitian, peneliti mendapatkan beberapa data yang diperlukan untuk dijadikan bahan penelitian ini. Data yang peneliti peroleh adalah berupa angka-angka, yaitu data tentang biaya produksi, jumlah produksi, dan harga dari hasil produksi Aplikasi Turunan Derivativ ... 8 Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep. Untuk itu, peneliti menulisnya dalam bentuk tabel sebagai berikut. Tabel 1. Biaya Tetap yang Dikeluarkan Oleh Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep Pajak dalam 1 tahun Pemeliharaan alat Iklan Gaji bulanan karyawan tetap Beban biaya listrik dan telepon Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Tabel 2. Biaya Variabel yang Dikeluarkan Oleh Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep Biaya Variabel Total VC Biaya Variabel Rata-rata AVC Roti Tawar Roti Tawar Susu Roti Manis Roti Isi Keju Roti Panca Rasa Roti Coklat Roti Pisang Coklat Roti Isi Sosis Roti Isi Kacang Roti Selai Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. 715,- Rp. 750,- Rp. 392,- Rp. 377,- Tabel 3. Hasil Produksi dan Harga Hasil Produksi Roti Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep Tahun 2004 Roti Tawar Roti Tawar Susu Roti Manis Roti Isi Keju Roti Panca Rasa Roti Coklat Roti Pisang Coklat Roti Isi Sosis Roti Isi Kacang Roti Selai roti roti roti roti roti roti roti roti roti roti Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. 9 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. Tabel 4. Hasil Produksi dan Harga Hasil Produksi Roti Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep Tahun 2003 Roti Tawar Roti Tawar Susu Roti Manis Roti Isi Keju Roti Panca Rasa Roti Coklat Roti Pisang Coklat Roti Isi Sosis Roti Isi Kacang Roti Selai roti roti roti roti roti roti roti roti roti roti Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Berdasarkan Tabel 1 dan 2 dapat diperoleh fungsi biaya C untuk masing-masing jenis roti. Sedangkan berdasarkan Tabel 3 dan 4 dapat diperoleh fungsi harga permintaan P untuk masing-masing jenis roti. Jika fungsi harga permintaan P dikalikan dengan jumlah barang yang dihasilkan Q, maka akan diperoleh fungsi penerimaan R. Selanjutnya, jika fungsi penerimaan R dikurangi fungsi biaya C, maka akan diperoleh fungsi keuntungan . Kemudian, fungsi keuntungan ini dianalisis untuk memperoleh keuntungan yang maksimum dengan menggunakan konsep turunan derivatif. IV. Pembahasan Sebelum menganalisis keuntungan maksimum, berikut ini beberapa model matematika fungsi dari variabel-veriabel data penelitian yang dijelaskan pada tabel dan Model matematika tersebut berupa fungsi biaya C, fungsi harga permintaan P, fungsi penerimaan R, dan fungsi keuntungan untuk masing-masing jenis roti yang diproduksi. 1. Roti Tawar , , , dan 2 QQ2. Roti Tawar Susu ,, Aplikasi Turunan Derivativ ... 10 , dan 2 QQ3. Roti Manis , , , dan 2 QQ4. Roti Isi Keju , , , dan 2 QQ5. Roti Panca Rasa , , , dan 2 QQ6. Roti Coklat , , , dan 2 QQ7. Roti Pisang Coklat , , , dan 2 QQ8. Roti Isi Sosis , , , dan 2 QQ9. Roti Isi Kacang , , , dan 2 QQ 11 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. 10. Roti Selai , , , dan 2 QQBerdasarkan fungsi keuntungan pada masing-masing jenis roti, jika dicari turunan pertamanya, maka akan diperoleh suatu titik kritis atau titik ekstrim, kemudian titik ekstrim tersebut diuji menggunakan turunan kedua untuk mengetahui titik maksimum atau minimum. Jika hasil uji turunan kedua negatif , maka dapat disimpulkan bahwa titik tersebut merupakan titik maksimum. Jika hasil uji turunan kedua negatif , maka menunjukkan bahwa Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep akan memperoleh keuntungan maksimum pada tingkat produksi tertentu dalam 1 tahun. Adapun selesaian fungsi keuntungan pada masing-masing jenis roti adalah sebagai berikut. 1. Roti Tawar Roti Tawar Susu Roti Manis Roti Isi Keju Roti Panca Rasa Roti Coklat Aplikasi Turunan Derivativ ... 12 Roti Pisang Coklat Roti Isi Sosis Roti Isi Kacang Roti Selai hasil selesaian fungsi keuntungan pada masing-masing jenis roti dapat disimpulkan bahwa perusahaan tersebut mengalami keuntungan maksimum, karena hasil turunan kedua negatif untuk semua jenis roti. Untuk Roti Tawar, perusahaan akan memperoleh keuntungan maksimum pada saat memproduksi roti sebanyak Roti Tawar Susu sebanyak Roti Manis sebanyak Roti Isi Keju sebanyak Roti Panca Rasa sebanyak Roti Coklat sebanyak Roti Pisang Coklat sebanyak Roti Isi Sosis sebanyak Roti Isi Kacang sebanyak dan Roti Selai sebanyak dalam 1 tahun. Sehingga, Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep akan memperoleh keuntungan maksimum pada tingkat produksi roti dalam 1 tahun. 13 al-Khwarizmi, Volume II, Edisi I, Maret 2014, Hal. 1 – 14. V. Kesimpulan Dan Saran A. Kesimpulan Dari hasil penelitian dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa 1. Langkah-langkah untuk mengaplikasikan turunan derivatif dalam Permasalahan Analisis Keuntungan Maksimum adalah a. Berdasarkan data yang diperoleh, dirumuskan beberapa variabel, yaitu biaya total dan biaya variabel perusahaan dalam memproduksi roti, biaya tetap perusahaan, jumlah roti yang dihasilkan, harga roti per biji, penerimaan total, dan keuntungan. b. Menyusun model matematika fungsi dari variabel-veriabel yang diperoleh. c. Menyelesaikan model matematika. 2. Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep mengalami keuntungan maksimum, karena hasil turunan kedua negatif untuk semua jenis roti. Keuntungan maksimum akan diperoleh pada saat memproduksi roti dalam 1 tahun. B. Saran Saran yang bisa diberikan berkaitan dengan penelitian ini adalah 1. Hendaknya apa yang telah dilakukan oleh Perusahaan Istana Roti “ANITA” Kalianget-Sumenep dijadikan sebagai usaha yang masih perlu ditingkatkan secara kontinyu. 2. Mengingat konsep turunan derivatif bukanlah satu-satunya konsep atau alat untuk menganalisis keuntungan maksimum, maka disarankan kepada pihak yang berminat, untuk mencari cara atau metode lain dalam memaksimumkan keuntungan. DAFTAR PUSTAKA Arikunto, Suharsimi. 2002. Prosedur Penelitian Suatu Pendekatan Praktek. Jakarta PT. Rineka Cipta. Badan Penelitian dan Pengembangan Kurikulum. 2001. Kurikulum Berbasis Kompetensi Mata Pelajaran Matematika. Jakarta Departemen Pendidikan Nasional. Aplikasi Turunan Derivativ ... 14 Dumairy. 1999. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta BPFE-Yogyakarta. Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus dan Penerapannya dalam Ekonomi. Jakarta Lembaga Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Nasoetion, Andi Hakim. 1980. Landasan Matematika. Jakarta Bhratara Karya Aksara. Nazir, M. 1988. Metode Penelitian. Jakarta Ghalia Indonesia. ... Computational thinking membantu meningkatkan kemampuan peserta didik, baik itu kemampuan dalam berpikir analitis maupun kemampuan dalam meningkatkan hasil belajarnya, seperti dalam penelitian sebelumnya oleh Kules, 2016, Lisnawita et al., 2021, Nurmuslimah, 2019, Yadav et al., 2014, Ansori, 2020, Kawuri et al., 2019, dan Lisnawita et al., 2021. Sedangkan tahapan-tahapan pembelajaran dengan penerapan computational thinking adalah thinking berpikir, creating membuat/berkreasi, debugging menemukan dan memperbaiki kesalahan, persevering penekunan, dan colaborating kolaborasi Kawuri et al., 2019 Asyhar, 2018, pada bidang teknik yaitu penerapan diferensiasi suatu fungsi dalam kaitannya dengan volum tangki yang bervariasi Suroso, 2020, pada bidang statistik dalam menentukan estimasi pertambahan penduduk Nuraeni, 2017, pada bidang pertanian dalam simulasi debit pipa air dalam instalasi air dengan tangki bertingkat Efendi & Sagita, 2021 ...Zulkaidah Nur Ahzan Yosepha Patricia Wua LajaLailin HijrianiPendidikan di era memberikan dampak dalam proses pembelajaran setelah sebelumnya hanya memanfaatkan media seadanya saja dari pengajar, dimana dengan perkembangan teknologi harus dapat memanfaatkan fasilitas internet dan dapat menunjang kompetensi mahasiswa secara teori dan praktek. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan mengembangkan media berbahasa pemrograman open-source dengan penerapan computational thinking. Oleh karena itu tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuat media berbahasa pemrograman open-source dengan penerapan computational thinking dan untuk mengetahui efektivitas dari media yang dikembangkan terhadap hasil belajar mahasiswa. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode R & D serta penelitian eksperimental dengan subjek penelitian adalah mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Timor yang memrogram matakuliah Kalkulus Lanjut 2021/2022. Instrumen yang digunakan adalah lembar validasi ahli materi dan ahli media, angket respon mahasiswa, serta soal pre-test dan post-test. Hasil penelitian menunjukkan bahwa media yang dikembangkan mendapatkan penilaian “sangat baik” dari ahli materi dan ahli media serta dari mahasiswa. Sebagai tambahan, terdapat peningkatan hasil tes mahasiswa sebesar 91,36 setelah diberikan perlakuan meskipun mahasiswa cenderung kurang mendapatkan penekanan pada tahap persevering. Kesimpulannya, media yang dikembangkan efektif dalam meningkatkan hasil belajar Terapan untuk Bisnis dan EkonomiDumairyDumairy. 1999. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta Kalkulus dan Penerapannya dalam EkonomiLegowoLegowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus dan Penerapannya dalam Ekonomi. Jakarta Lembaga Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Matematika. Jakarta Bhratara Karya AksaraAndi NasoetionHakimNasoetion, Andi Hakim. 1980. Landasan Matematika. Jakarta Bhratara Karya Penelitian. Jakarta Ghalia IndonesiaM NazirNazir, M. 1988. Metode Penelitian. Jakarta Ghalia Indonesia.
Padapost kali ini akan diberikan beberapa contoh bagaimana turunan parsial diterapkan dalam bidang ekonomi.. Menentukan permintaan marjinal. Misalkan A dan B merupakan dua buah produk yang memiliki hubungan satu sama lain dalam hal penggunaannya. Misalkan persamaan permintaan A dan B masing-masing adalah q A = f(p A,p B) dan q B = f(p A,p B), dengan p A adalah harga per unit produk A dan p BfCdE.
penerapan turunan dalam bidang ekonomi
